Глава 13. Модели хаоса и катастроф

13.1. Математическая модель катастрофы "сборка"

Рассмотрим основные положения теории катастроф на примере катастрофы "сборка", которой соответствует дифференциальное уравнение

dx/dt = -х³ +bx+a. (13.1)

При варьировании значений параметров а и b поведение системы (число стационарных точек, их расположение) будет также меняться. Для изучения качественного характера этих изменений рассмотрим потенциальную функцию

F(x,a,b) = х⁴ / 4 - bx² / 2 - ах.

Заметим, что -dF/дх - -х³+bх+а. На рис. 13.1 приведены двухмерные графики, характеризующие поведение функции F.

251

На рис 13.1,а изображена так называемая бифуркационная кривая (4b³ - 27а²). Эта кривая разделяет плоскость (а, Ь) на две части. Внутри кривой функция F имеет два минимума (рис. 13.1,6). За пределами этой кривой функция F имеет только один минимум (рис. 13.1,в). Как известно, экстремальные значения функции F можно определить, приравняв нулю первую производную:

х³- bх - а = 0. (13.2)

Заметим, что это же уравнение определяет стационарные точки дифференциального уравнения (13.1).

Если в трехмерном пространстве по вертикальной оси отложить положения особых точек уравнения (13.1) х*, а по двум другим осям - значения параметров а и b, то получим поверхность катстроф (рис. 13.2). Проекция на плоскость параметров (а,b) точек поверхности, в которых имеется вертикальная касательная, даст бифуркационную кривую.

Перепишем уравнение (13.2) в следующем виде:

z = хy - z = 0, (13.3)

где у = b; z = а. Можно считать, что это уравнение задает нелинейную функцию, в которой у и г - независимые переменные, а х - зависимая. График этой функции можно нарисовать в трехмерном пространстве с помощью Excel. Главная трудность в изучении рассматриваемой функции заключается в том, что при некоторых значениях независимых переменных эта функция становится неоднозначной. Тем не менее график такой функции построить можно. Допустим, что в функции (13.3) зависимой переменной является z, тогда можно записать

2 = х³ - ху, (13.4)

а это уже обычная функция двух переменных х и у, и ее можно построить с помощью электронных таблиц.

252

Целесообразно также провести исследование функции z, построив серию графиков при фиксированных значениях у из интервала (-5;5).

Как указывалось в § 12.3, основными характеристиками фазового портрета на плоскости являются положения равновесия и предельные циклы. Сепаратрисы связывают седловые положения равновесия с особыми точками и предельными циклами. Если менять параметры структурно-устойчивой системы, то ее фазовый портрет будет также меняться, но его топологическая структура в определенном диапазоне значений параметра будет оставаться постоянной. При достижении критических значений параметров происходит бифуркация - меняется топологическая структура фазового портрета. Качественное исследование динамической системы, зависящей от параметров, предполагает описание всех возможных в ней бифуркаций и определение множества бифуркационных значений параметров.

Рассмотрим системы, зависящие от одного параметра. Вернемся к рис. 12.5, на котором изображены типичные фазовые портреты в окрестности точки равновесия. В двух случаях положение равновесия является устойчивым: устойчивые фокус и седло, и в трех - неустойчивым: седло и неустойчивые узел и фокус.

Если в процессе изменения системы параметр подходит к бифуркационному значению, то либо два положения равновесия сливаются и "умирают" (система совершает скачок, перескочив на другой режим), либо "рождается" пара положений равновесия. Причем из двух положений равновесия одно устойчиво, а другое неустойчиво.

Ситуация возникновения предельного цикла может быть проиллюстрирована следующей системой уравнений:

{	dr/dt = λr - r3;
	dφ/dt = c

(13.5)

где с - константа, r и φ - полярные координаты (х = rcos φ; у = rsin φ). Если λ < 0, то динамическая система (13.5) имеет один устойчивый фокус. Если параметр А. изменяется и становится положительным, то происходит бифуркация Хопфа, фокус теряет устойчивость и в системе возникает устойчивый предельный цикл с радиусом √λ [1]. Фазовый портрет системы (13.5) в этом случае будет состоять из траекторий, изнутри и снаружи "наматывающихся" на предельный цикл. Это означает,

253

что независимо от начального состояния система достаточно быстро перейдет в режим периодических колебаний (автоколебательный режим).

Рассмотрим бифуркации, связанные с предельными циклами. В этом случае возможны два варианта. При первом варианте из устойчивого фокуса при изменении параметра рождается устойчивый предельный цикл (рис. 13.3). В случае второго варианта при изменении параметра неустойчивый предельный цикл исчезает, и его неустойчивость передается положению равновесия - фокусу (рис. 13.4).

В первом варианте после потери устойчивости положения равновесия устанавливается колебательный периодический режим (мягкая потеря устойчивости). Во втором варианте система уходит со стационарного режима скачком (жесткая потеря устойчивости) и переходит на другой режим движения [1].

Множество точек, к которым притягиваются траектории автономных систем, называется аттрактором. Для систем с двумя переменными существует только два типа аттракторов - особая точка и предельный цикл. В первом случае все изучаемые величины

254

с течением времени выходят на постоянные значения, во втором - на периодический режим.

При количестве переменных в системе N > 3 и наличии в правой части только линейных и квадратичных членов возможно возникновение странных аттракторов.

255