Модели Лотки-Вольтерра. В данном параграфе будут рассмотрены простейшие нелинейные системы дифференциальных уравнений, позволяющие тем не менее создавать достаточно реалистические модели социальных процессов. Но прежде чем перейти к моделированию социальных взаимодействий, рассмотрим так называемые модели Лотки-Вольтерра, активно применяемые биологами для изучения взаимодействия популяций [12].
Проанализируем систему двух дифференциальных уравнений, описывающих взаимодействие двух популяций:
| dx1 /dt = c1 x1 + a12 x1 x2 + a11 x12, |
| dx2/dt = c2 x2 + a21 x1 x2 + a22 x22, |
где x1 (t) и х2 (t) - численность популяций в момент t.
Линейные члены с1 x1 и с2 х2 в правых частях уравнений соответствуют свободному размножению видов. Если коэффициент
244
ci > 0, то численность соответствующего вида растет (положительная обратная связь), если сi < 0, то численность уменьшается (отрицательная обратная связь).
Члены аii хi2 отражают наличие внутривидовой конкуренции при а.. < 0. Если а.. > 0, то мы имеем дело с сильной положительной обратной связью, отражающей эффект "группирования",- благоприятное влияние на численность популяции процесса образования сообществ.
Наиболее интересны в этой модели произведения факторов x1 х2, отражающие процесс взаимодействия двух популяций. Если коэффициенты а., отрицательны, то виды конкурируют друг с другом. При аij > 0 процесс взаимодействия биологи называют симбиозом (в социальной сфере более уместно говорить о сотрудничестве, кооперации). Если a12 > 0 и a21 < 0, то первый вид является хищником, а второй - жертвой (если численность первого вида больше, то это взаимодействие паразита с хозяином).
В литературе рассматривались как более простые системы (часть коэффициентов равна нулю), так и различные обобщения, учитывающие влияние дополнительных факторов. Необходимость обобщений обусловлена таким серьезным недостатком модели Лотки-Вольтерра, как неустойчивость решений системы уравнений. Получается, что любое случайное изменение численности одного из видов приводит к изменению траекторий развития, тогда как в природных условиях взаимодействие видов протекает достаточно устойчиво [12].
В моделях Лотки-Вольтерра решения могут носить циклический характер, что соответствует процессам, наблюдаемым в природе. Рассмотрим систему двух видов: волки и зайцы. Рост численности волков ведет к сокращению поголовья зайцев. Вызванный этим дефицит пищи приводит к сокращению численности волков, что в свою очередь способствует развитию популяции зайцев.
Модели взаимодействий в социальной сфере. Г.Р. Иваницкий, анализируя искусствоведческую литературу, считает, что в хаосе различных течений и направлений можно выделить закономерность - пульсирующий характер развития [7]. Так, для творческого процесса характерен этап зарождения нового направления, который может длиться десятки лет. Иваницкий выделяет два фактора, регулирующие длительность этапа зарождения нового направления в науке или искусстве: психологический и социальный. Любой ученый или деятель искусства испытывает воздействие своих коллег. Он либо сопротивляется каким-либо
245
идеям, либо ощущает сопротивление своим идеям. Возможно пребывание одновременно в двух указанных состояниях.
Творческая среда достаточно консервативна. Консерватизм в данном случае является защитным механизмом, призванным сдерживать необоснованные притязания реформаторов. Сила сопротивления пропорциональна величине притязаний реформатора.
В случае успеха в развитии любого направления наступает стадия экспоненциального роста количества продукции. На этой стадии в данное направление науки или искусства вливается большое число специалистов. По мере насыщения наблюдается уменьшение интереса, замедление роста продуктивности, начинается отток специалистов. Затем какое-либо революционизирующее открытие вновь пробуждает интерес к хорошо забытому направлению, и оно опять начинает развиваться по экспоненте.
Иваницкий считает, что область науки или искусства, состоящая из большого числа различных направлений, также характеризуется пульсирующим характером развития. В простейшем случае уравнения развития науки или искусства имеют следующий вид:
| { |
dN1 / dt = k1 N1 N2-k2 N1, |
| dN2 / dt = k3 N1N2-k4 N2, |
(12.25)
где N1,2 - число специалистов; dNl /dt, dN2 /dt - скорости изменения числа специалистов соответственно в областях 1 и 2; k. - коэффициенты, зависящие от начальных условий. Первое уравнение системы (12.25) означает, что скорость изменения количества продукции пропорциональна произведению N1N2 и обратно пропорциональна численности работников в данной области.
Численные эксперименты показали, что кривые, являющиеся решением системы (12.25), циклически колеблются около экспоненциального тренда. Так как поведение решения системы (12.25) соответствует эмпирическим данным, то, как считает Иваницкий, данная модель может претендовать в первом приближении на качественное описание реального творческого процесса.
В данной главе в основном рассматривались примеры динамических моделей социальных процессов на макроуровне, однако в литературе имеется много примеров использования дифференциальных уравнений для моделирования индивидуального поведения и групповой деятельности [4,15]. Язык дифференциальных уравнений позволяет точно сформулировать утверждения,
246
которые можно описать и на обыденном языке, но в значительно более расплывчатой форме.
Решая дифференциальные уравнения, можно забыть о содержательном смысле переменных и использовать математический аппарат, разрабатываемый в течение нескольких столетий целым рядом выдающихся математиков. Используя их результаты, можно исследовать особенности поведения решений, получить качественные оценки.
Следует отметить, что при интерпретации полученных решений необходимо снова вернуться к языку содержательных понятий для оценки адекватности и осмысленности полученных математических выводов.
247
