РАЗДЕЛ 3. Формальные модели социальных
процессов

Глава 12. Анализ динамики систем

12.1. Иконологическое моделирование

После того как исследователь понял механизм функционирования системы, его главной задачей становится формализация описания этого механизма, например с помощью разностных уравнений (см. § 9.2). Дальнейшее изучение поведения системы становится совершенно элементарным, если воспользоваться возможностями современных компьютерных технологий.

Рассматриваемая в этом разделе методология иконологического моделирования базируется на исследовании компьютерных моделей сложных систем и современных методах визуализации информации. В предлагаемой методологии роль формальных методов анализа социальных процессов кардинально пересмотрена, что обусловлено ориентацией данной методологии в первую очередь на социологов - исследователей, преподавателей, студентов. Социологи должны самостоятельно формализовывать содержательные модели и проводить исследования на компьютерных моделях многофакторных нелинейных систем. Методология иконологического моделирования позволяет социологам перейти от "жестких" математических моделей к изучению значительно более реалистичных "мягких" моделей. Как справедливо отмечает академик В.И. Арнольд, в социальных науках конкретный вид взаимосвязей часто неизвестен, поэтому необходимо исследование поведения систем для целого класса функций [1].

Социолог получает возможность самостоятельно проводить построение и изучение модели. Помощь математика и программиста необязательна. От пользователя не требуется владение сложным математическим аппаратом и языками программирования. Методология ориентирована на исследование моделей с помощью вычислительных экспериментов и получение качественных оценок [11].

Ключевую роль в исследовании должно играть доверие социолога к получаемым результатам. Обеспечить необходимый уровень доверия позволит использование стандартного и распространенного программного обеспечения (в данном случае электронных таблиц Excel). Социолог имеет возможность проверить буквально каждый шаг вычислений. Процесс компьютерной имитации

222

находится под полным контролем пользователя. В любом месте процесс вычислений можно прервать, скорректировать модель и продолжить моделирование дальше.

Эксперименты с моделью позволяют выявить неожиданные эффекты, сгенерировать новые гипотезы, обеспечить описание и понимание социальных явлений, недоступное в других языках научных исследований. Так, с помощью компьютерных экспериментов удается выявить возможные формы пространственной и временной самоорганизации, условия возникновения социальных структур, проанализировать эволюцию систем правил.

Рассмотрим возможности иконологического моделирования на примере исследования логистического уравнения

Перенесем у_{t - 1}, в правую часть уравнения. Получим

Из уравнения (12.2) видно, что состояние системы y_t в момент t является функцией от состояния системы в предыдущий момент времени y_{t - 1}. Уравнение (12.2) является рекуррентной формой разностного уравнения.

Для того чтобы исследовать поведение системы, механизм функционирования которой может быть представлен в виде разностного уравнения, необходимо задать у_t - начальное состояние системы в момент t = 1. Константы а и М также должны быть заданы. Тогда у₂ - состояние системы в момент t = 2 легко вычисляется по формуле (12.2). Аналогично, зная у₂, определяем у₃ и т.д. Если нам требуется исследовать поведение системы на временном интервале от t = 1 до t = 20, то к формуле (12.2) следует обратиться 19 раз, вычисляя последовательно значения у₂ , ..., у₂₀ (напомним, что начальное состояние y₁ должно быть задано).

Покажем, как с помощью электронный таблицы Excel весь процесс исследования системы может быть выполнен одним щелчком мышки. Запустим Excel. В раскрывшемся окне появляется таблица. Введем в ячейку А1 значение у₁ = 5, в ячейку В1 - значение коэффициента а = 0,0005 и в ячейку С1 значение М = 1000 (табл. 12.1)¹.

223

Таблица 12.1. Фрагмент окна Excel

Введем формулу (12.2) в ячейку А2 в следующем виде:

В Excel формула должна начинаться со знака "=", т.е. вводится только правая часть уравнения (12.2). Вместо символов у₁, а, М в данном случае указаны адреса ячеек, в которых хранятся соответствующие значения¹. Напомним, что для завершения ввода формулы необходимо нажать клавишу "Ввод" (Enter), после чего в ячейке А2 появится результат вычислений по данной формуле - 7,4875, сама же формула также осталась в ячейке, ее видно в строке формул, расположенной над таблицей.

Теперь приступим к размножению формулы. Для этого надо подвести курсор к правому нижнему углу ячейки А2 так, чтобы он превратился в черный крестик и, нажав левую кнопку мыши, протащить ее до ячейки А20. Столбец А заполнится числами. Подведя курсор к любой ячейке, например A3, убеждаемся, что выражение в строке формул полностью соответствует уравнению (12.2) для случая t = 3. То же самое автоматически произошло во всех ячейках с А4 по А20. Заметим, что меняются только адреса ячеек столбца А, адреса ячеек В1 и С1 остаются неизменными. Это происходит потому, что мы знаком $ зафиксировали адреса этих ячеек (для фиксации адреса при горизонтальном размножении знак $ следует ставить перед буквой, например $В1, возможна и абсолютная фиксация - $В $1).

Изучение рядов чисел лучше проводить с помощью графики. Выделим ячейки с Al no A20. Вызовем "Мастер диаграмм". Выберем тип диаграмм "График", и Excel построит логистическую S-образную кривую.

На этом все подготовительные операции заканчиваются. При приобретении необходимых навыков вся процедура занимает не более минуты.

224

После ввода в компьютер исходной информации и построения графика начинается самый интересный и наиболее важный этап исследования. В случае изменения начальных значений в ячейке А1 либо значений коэффициентов в ячейках В1 или С1 на экране в ту же секунду появляется новый вариант графика. Теперь можно понять, интуитивно ощутить, каким образом изменения параметров модели влияют на динамику процесса.

Поэкспериментируйте с моделью при разных исходных данных и убедитесь, что так же, как исходные данные, можно легко изменить и саму модель, записав новую формулу в ячейку А2. Теперь решение сколь угодно сложного уравнения не будет для вас проблемой.

Обобщение логической модели. В логистическом уравнении параметры а и М предполагаются константами, но при данном подходе не составляет труда произвести исследование более сложных случаев. Если параметры а и М линейно зависят от времени, то их значения следует ввести в столбцы В и С, используя возможности размножения. В исходной формуле в ячейке А2 сотрем знак $ и вновь размножим эту формулу на ячейки А2, ..., А20. Затем построим графики для столбцов А и С и отдельно для столбца В.

Для того чтобы изучить влияние на поведение системы изменений параметров, воспользуемся возможностями интерактивной графики. После щелчка мышью по графику параметра М на нем появится черная точка - маркер. Если к маркеру подвести курсор, то он примет форму вертикальной стрелки. Теперь можно нажать левую кнопку мыши и вытянуть график вверх или вниз. Автоматически изменится значение М в столбце С и будут пересчитаны формулы в столбце А. Затем изменения в столбце А будут отражены на соответствующем графике. Аналогично непосредственно на диаграмме можно варьировать начальное значение у₁.

Весь процесс занимает доли секунды и позволяет исследователю оценить устойчивость модели, влияние возможных внешних воздействий, проанализировать различные сценарии развития рассматриваемых процессов.

Предлагаемая методика иконологического моделирования позволяет социологам перейти от "жестких" математических моделей к изучению значительно более реалистичных "мягких" моделей. Действительно, вместо линейных функций а и М пользователь может нарисовать любые функции, просто перемещая точки на соответствующем графике (знание их аналитического вида не требуется).

225

Ниже будет показано, что при данном подходе не составляет труда учесть эффект запаздывания, влияние случайных факторов. Никаких затруднений не вызывает и исследование систем, описываемых не одним, а несколькими уравнениями. Но наибольшее удовольствие вы получите, когда научитесь управлять системой. Если поведение системы начиная с некоторого момента времени t не будет вас удовлетворять, следует просто стереть неустраивающие вас числа. Продумав необходимые изменения, скорректируем механизм поведения системы и продолжим расчеты с этого места (строки t).

Как учесть в модели эффект запаздывания. Для того чтобы убедиться в том, что учет запаздывания (или временного лага) совершенно элементарен, рассмотрим знаменитую задачу о кроликах, предложенную еще в XIII веке итальянским ученым Фибоначчи. "Некто поместил пару кроликов в загоне, огороженном со всех сторон, дабы знать, сколько пар кроликов родится в течение года. Природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а потомство дают они со второго месяца после своего рождения".

Обозначим число пар кроликов в месяце t через Ft. Легко убедиться, что число пар кроликов подчиняется следующему соотношению:

где t ≥ 3, a F₁ = F₂ = 1.

Как оценить динамику кролиководства? Воспользуемся предлагаемой методикой. Введем в Excel начальные данные F₁, F₂ и формулу (12.4).

Как видно из табл. 12.2, в ячейках А1 и А2 записаны начальные условия задачи. В ячейку A3 введем рекуррентное соотношение (12.4). Размножим формулу в ячейке A3 на последующие ячейки столбца А до 20-й строки. Затем построим график роста числа пар кроликов¹.

Таким образом, учет временного запаздывания - в данном случае появление в уравнении (12.4) члена F_{t - 2}, зависящего от состояния системы в предыдущий момент, - требует отвести для

226

Таблица 12.2. Решение задачи Фибоначчи

начальных условии не одну ячейку, как раньше, а столько, сколько периодов запаздывания необходимо учесть.

Введение в модель случайных факторов. С помощью Excel легко моделировать поведение моделей, коэффициенты которых являются случайными величинами. Проще всего это сделать, вызвав в меню "Сервис" - пакет "Анализ данных". (Если в меню такой строки нет, пакет следует загрузить, выбрав в меню "Сервис" - Надстройки.) В открывшемся диалоге выберем альтернативу "Генерация случайных чисел". В открывшейся вкладке есть поле "Число переменных". Если нужен только один набор случайных чисел, то зададим в этом поле значение 1.

В поле "Число случайных чисел" введем количество временных интервалов вашей модели, например 20. В поле "Распределение" выберем из предлагаемого списка необходимый тип распределения - равномерное, нормальное, Пуассона и т.д. После этого появится вкладка, которая потребует задать необходимые параметры распределения. Теперь останется только указать границы столбца ячеек, куда будут выведены случайные числа, например $В $1 : $В $20. Получив случайные данные, можно приступать к дальнейшим экспериментам с моделью.

Освоение данного подхода дает в руки социолога эффективный инструмент исследования поведения систем. Парадоксально, но его эффективность увеличивается с ростом сложности системы! Традиционно считалось, что изучение поведения даже простых систем невозможно без овладения весьма сложным математическим аппаратом и приобретения необходимых навыков, что отпугивало гуманитарно ориентированных ученых. Данный подход ломает стену между построением модели и ее изучением. Сказанное, конечно, не означает, что математика совсем не нужна. Она станет необходимой, когда потребуется сделать выводы более убедительными, доказательными, обобщить их на широкий класс однотипных систем.

В последующем изложении иконологическое моделирование, делающее акцент на визуализации решений и экспериментировании с моделью, будет соседствовать с традиционными подходами

227

к исследованию поведения систем. Некоторые математические результаты, полученные при изучении достаточно простых систем, могут оказаться полезными для углубления понимания качественных особенностей поведения более сложных систем, с которыми приходится иметь дело при решении практических проблем.

Предложенная методология может быть использована не только в научных исследованиях, но и в преподавании различных дисциплин на социологических факультетах. Учебное компьютерное моделирование дает возможность существенно углубить понимание таких сложных социальных процессов, как эволюция, кооперация, самоорганизация, конкуренция, обучение, подражание и т.д. Использование визуализации, игровых форм, безусловно, обогатит традиционные формы изложения материала. Отметим, что при данном подходе снимается проблема мотивации студентов - многие модели можно считать просто упражнениями по освоению современных электронных таблиц, а каждый студент становится создателем своего собственного знания.

Применение специализированных пакетов на данном этапе нецелесообразно, так как у пользователя снижается уровень доверия к результатам, получаемым из "черного ящика". К тому же специализированные пакеты не всегда могут обеспечить уровень гибкости, необходимый для исследования "мягких" моделей. Конечно, социолог может нуждаться в наборе дополнительных программных средств для решения конкретных задач, но они должна быть оформлены в виде системы общедоступных программных модулей (СПМ), состоящей из совокупности достаточно простых макросов.

Иконологическое моделирование не предполагает традиционных методов освоения математических знаний. Математические понятия и утверждения используются только как генеративные метафоры, позволяющие по новому увидеть изучаемые явления, сформулировать нетривиальные гипотезы о поведении рассматриваемых процессов.

Предложенный инструментарий должен постепенно стать органической частью социологического знания. Это создаст необходимые условия для синтеза социологии, информатики и математики, выводящего социальные науки на качественно новый уровень.

228