11.2. Синергетика и теория хаоса

В 80-е годы все большее внимание исследователей привлекает проблема самоорганизации, перехода от хаоса к порядку. Немецкий ученый Г. Хакен назвал теорию самоорганизации синергетикой (теория совместного действия). Синергетика изучает такие взаимодействия элементов системы, которые приводят к возникновению пространственных, временных или пространственно-временных структур в макроскопических масштабах. Особое внимание уделяется структурам, возникающим в процессе самоорганизации.

Г. Хакен отмечает, что синергетика как междисциплинарная наука связана с различными областями физики, химии, биологии,

210

кибернетики. "С более общих позиций можно считать, что и теория динамических систем, и синергетика занимаются изучением временной эволюции систем. В частности, математики, работающие в теории бифуркаций, отмечают, что в центре внимания синергетики (по крайней мере в современном виде) находятся качественные изменения в динамическом (или статическом) поведении системы, в частности при бифуркациях. Наконец, синергетику можно рассматривать как часть общего системного анализа, поскольку и в синергетике, и в системном анализе основной интерес представляют общие принципы, лежащие в основе функционирования системы" [22, с. 17].

Таким образом, теория катастроф, системная динамика, теория диссипативных структур "самоорганизовались" в новую междисциплинарную науку - синергетику. Г.Р. Иваницкий считает, что термин "синергетика" мало что поясняет и лучше говорить о "динамических процессах и нелинейных системах, приводящих к хаотизации движения или, наоборот, к его упорядочению и появлению пространственно-временных структур" [7, с. 3]

Наряду с теорией относительности, квантовой физикой теория хаоса оказывает все более заметное влияние на парадигмы обществоведения. Высказывается надежда, что теория хаоса послужит углублению взаимопонимания между представителями естественных и гуманитарных наук.

Рассмотрим основные понятия синергетики, используемые для изучения поведения нелинейных систем. Система находится в состоянии хаоса, если:

• при любых начальных условиях траектории движения становятся апериодическими;
• при сколь угодно близких начальных условиях две траектории со временем станут различными.

Столь высокая чувствительность к начальным условиям ведет к невозможности прогнозирования поведения системы, что является одной из важнейших характеристик хаоса. Режим называется хаотическим, если расстояние между любыми двумя точками, первоначально сколь угодно малое, экспоненциально возрастает со временем [19].

В древние времена хаосом называли неупорядоченную, бесформенную массу, из которой возникло все сущее. Какая-либо форма, структура может возникнуть из хаоса благодаря внешним целенаправленным воздействиям или под действием сил самоорганизации. "Самоорганизацией называется возникновение упорядоченных структур и форм движения из первоначально

211

неупорядоченных, нерегулируемых форм движения без специальных, упорядочивающих внешних воздействий" [16, с. 61].

Множество точек, к которым притягиваются траектории динамических систем, называется аттрактором. Математики считают, что при качественном анализе поведения динамических систем внимание следует сосредоточить не на переходных процессах, а на установившихся режимах. Математическим образом таких режимов и являются аттракторы. Для устойчивых равновесных систем аттракторами чаще всего является либо точка, тогда переменные не меняются во времени, либо цикл, тогда система испытывает периодические колебания.

Если система находится в неустойчивом состоянии, то ее траектории могут притягиваться к странному аттрактору. Странный аттрактор в некоторых случаях похож на клубок траекторий, напоминающих две склеенные друг с другом ленты [2]. Если наблюдать за поведением точки, характеризующей состояние системы, на экране дисплея, то можно увидеть, что точка "бегает" по аттрактору, случайно (хаотично) подается то на левую, то на правую ленту.

Странные аттракторы чувствительны к начальным данным. Если выбрать две близкие точки, лежащие на аттракторе, и проанализировать, как будет меняться расстояние между ними с течением времени r(t), то оказывается, что возможны следующие варианты:

• если аттрактор - особая точка, то r(t) → 0 при t (точки сливаются в одну);
• аттрактор - предельный цикл, r(t) - периодическая функция времени;
• странный аттрактор r(t) ≈ е^λt (λ > 0), r(t) →∞ при t → ∞ (точки разбегаются с экспоненциальной скоростью).

Таким образом, у странного аттрактора две близкие траектории со временем перестанут быть близкими. Это означает, что как бы точно ни измерялись начальные данные, ошибка со временем станет большой и, следовательно, поведение системы на больших временных интервалах спрогнозировать нельзя. Это явление было названо эффектом бабочки. История бабочки, случайно задавленной во время сафари участником путешествия на машине времени, описана в блестящем рассказе Р. Бредбери "И грянул гром". "Она упала на пол - изящное маленькое создание, способное нарушить равновесие, повалить маленькие костяшки домино ... большие костяшки ... огромные костяшки, соединенные

212

цепью неисчислимых лет, составляющих Время". А в итоге президентские выборы выиграл диктатор ...¹.

Странные аттракторы описал метеоролог Лоренц в 1963 г., моделируя задачи прогноза погоды. Из наличия эффекта бабочки вытекает практическая невозможность прогноза погоды: если необходимо предсказать погоду на 1-2 месяца вперед с погрешностью D, то начальные данные должны быть известны с погрешностью D · 10^-5.

Переход системы в режим странного аттрактора означает, что в ней наблюдаются сложные непериодические колебания, которые очень чувствительны к незначительным изменениям начальных условий. Такой режим может быть назван хаотическим. Возможный сценарий хаотизации приведен на рис. 11.7 [1].

Исследование экологических моделей привело ученых к экспериментальному открытию каскадов удвоений периода. Универсальность этого явления доказал М. Фейгенбаум (1978). Каскад удвоений периода можно описать следующим образом. В определенной области значений параметра система действует в периодическом режиме с периодом Т; при переходе через бифуркационное значение параметра период удваивается и становится равным 2Т; дальнейшее изменение параметра приводит снова к удваиванию периода, он становится равным 4Т и т.д. Последовательные бифуркации удвоения быстро следуют одна за другой - конечный отрезок изменения параметра содержит бесконечное число удвоений (после Р бифуркаций число циклов равно 2^Р). Таким образом, исследуемый эволюционный процесс

213

становится все более сложным. В пределе появляется сверхсложная организация - количество циклов 2^∞, процесс становится непериодическим, случайным, возникает хаос.

214

---