§ 4. Распределение по импульсам

Сначала рассмотрим распределение газа по составляющей импульса рх. По аналогии с уравнением (XI.6)

Введем плотность распределения (число молекул на единицу интервала ρ_px = N_px/Δp_x. Используя известный интеграл Пуассона

получим

Распределение молекул по составляющей импульса изображено на рис. XI.3.

Рис. XI.3. Распределение молекул по составляющей импульса

Рис. XI.4. Распределение молекул по импульсам

Мы видим, что наивероятнейшее (отвечающее максимуму ρ_px) значение р_х равно нулю.

Для рассмотрения распределения по импульсам р определим

285

число молекул N_pxpypz:

Для определения N_p надо просуммировать N_pxpypz по всем p_xp_yp_z, относящимся к данному значению р:

N_p = ∑N_pxpypz

Сумма выражает объем импульсного пространства, отвечающего изменению р на Δp.

Этот объем равен 4πp²Δp. Таким образом:

Распределение p_p = f(p) изображено на рис. XI.4. Легко определить наивероятнейшее значение р(p_н) из условия

dρ_p/dp = 0:

p_н = √2kTm.

Почему р_н ≠ 0, хотя р_xн = p_yн = р_zн = 0?

Как видно из уравнения (XI.10), вероятность иметь импульс р (в интервале Δр) определяется двумя факторами. Наряду с множителем e^-p2/2mkT фигурирует геометрическая вероятность, передаваемая выражением 4πр². Большему значению р отвечает больший объем в импульсном пространстве. Малые значения р мало вероятны, так как им отвечает малая геометрическая вероятность.

Из уравнения (XI.10) легко рассчитать среднюю величину импульса:

Также получим

286

В дальнейшем нас будет интересовать распределение энергии между молекулами двумерного газа.

Такое состояние может осуществляться, например, для газа, адсорбированного на некоторой поверхности. Импульс молекулы двумерного газа выразится через составляющие следующим образом:

p² = p

2

x

  + p

2

z

  .

По аналогии с формулой (XI.10) для р_р имеет место

В ряде случаев возникает необходимость определить, какая часть молекул двумерного газа (α_ε) имеет энергию больше некоторый заданной величины ε:

Введем новую переменную у = p*/2mkT, тогда

тогда

y = p²/2mkT,

Если рассматриваемую энергию (Е) рассчитывать на один моль газа, то

287