§ 4. Распределение по импульсам

Сначала рассмотрим распределение газа по составляющей импульса рх. По аналогии с уравнением (XI.6)

Введем плотность распределения (число молекул на единицу интервала ρpx = Npxpx. Используя известный интеграл Пуассона

получим

(XI.9)

Распределение молекул по составляющей импульса изображено на рис. XI.3.

Рис. XI.3. Распределение молекул по составляющей импульса
Рис. XI.3. Распределение молекул по составляющей импульса
Рис. XI.4. Распределение молекул по импульсам
Рис. XI.4. Распределение молекул по импульсам

Мы видим, что наивероятнейшее (отвечающее максимуму ρpx) значение рх равно нулю.

Для рассмотрения распределения по импульсам р определим

285

число молекул Npxpypz:

Для определения Np надо просуммировать Npxpypz по всем pxpypz, относящимся к данному значению р:

Np = ∑Npxpypz

Сумма выражает объем импульсного пространства, отвечающего изменению р на Δp.

Этот объем равен 4πp2Δp. Таким образом:

(XI.10)

Распределение pp = f(p) изображено на рис. XI.4. Легко определить наивероятнейшее значение р(pн) из условия

p/dp = 0:

pн = 2kTm.

Почему рн ≠ 0, хотя рxн = pyн = рzн = 0?

Как видно из уравнения (XI.10), вероятность иметь импульс р (в интервале Δр) определяется двумя факторами. Наряду с множителем e-p2/2mkT фигурирует геометрическая вероятность, передаваемая выражением 4πр2. Большему значению р отвечает больший объем в импульсном пространстве. Малые значения р мало вероятны, так как им отвечает малая геометрическая вероятность.

Из уравнения (XI.10) легко рассчитать среднюю величину импульса:

Также получим

286

В дальнейшем нас будет интересовать распределение энергии между молекулами двумерного газа.

Такое состояние может осуществляться, например, для газа, адсорбированного на некоторой поверхности. Импульс молекулы двумерного газа выразится через составляющие следующим образом:

p2 = p
2
x
  + p
2
z
  .

По аналогии с формулой (XI.10) для рр имеет место

В ряде случаев возникает необходимость определить, какая часть молекул двумерного газа (αε) имеет энергию больше некоторый заданной величины ε:

Введем новую переменную у = p*/2mkT, тогда

тогда

y = p2/2mkT,

Если рассматриваемую энергию (Е) рассчитывать на один моль газа, то

αE = e-E/RT. (XI.11)

287



Купить BlueTooth гарнитуру

Яндекс цитирования Rambler's Top100
Tikva.Ru © 2006. All Rights Reserved