1.5. ОСНОВНОЙ ЗАКОН РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА

Радиоактивный распад - явление статистическое. Величиной, характеризующей распад конкретного радионуклида, является константа распада λ - вероятность распада ядер в единицу времени.

Для большого числа нестабильных ядер будет происходить Nλ распадов в единицу времени. Предсказать время распада единичного ядра невозможно. С течением времени с момента образования радиоактивные ядра не "стареют" и в этом смысле не

26

зависят от времени. Основной закон радиоактивного распада описывается уравнением

dN
dt
 = -λN
(1.17)

и формулируется следующим образом: количество атомов радионуклида dN, которое распадается в интервале времени dt, пропорционально общему числу атомов N, где λ служит коэффициентом пропорциональности (минус означает уменьшение числа атомов во времени). Интегрирование этого уравнения дает фундаментальное уравнение радиоактивного распада:

N = N0et ,(1.18)

где N - число атомов радионуклида в настоящее время; N0 - число атомов радионуклида в начальный момент; λ - константа распада; t - время, в течение которого протекал распад.

Константа распада λ является специфической для каждого радионуклида. Она практически не зависит от формы химического соединения, в которое входит радионуклид, и физико-химических условий среды (Р, Т). Чем меньше константа распада, тем больше продолжительность жизни радионуклида.

Другая постоянная величина, характеризующая тот или иной радионуклид, - период полураспада. Периодом полураспада Т1/2 называется время, в течение которого число имевшихся первоначально радиоактивных ядер уменьшается наполовину. Это может быть записано так: N/N0 = 1/2. В этом случае, согласно определению, t = T; N/N0 = еt. Следовательно,

еt
1
2
; -λT = ln
1
2
;

λT = ln 2 = 0,693; T
0,693
λ
.
(1.19)

T1/2 для каждого радионуклида является табличной величиной. Зная ее, легко можно рассчитать долю от первоначального числа атомов за время, кратное периоду полураспада: через n периодов полураспада остается (1/2)nN0 атомов. Так, через 7 Т1/2 останется менее 1% исходных атомов, а через 10 T1/2 их число будет близко 0,1% от N0.

Величина, обратная константе распада, называется средней продолжительностью жизни радионуклида τ:

τ = 
1
λ
 = 
T
0,693
 = 1,443 T.
(1.20)

27

Основное уравнение радиоактивного распада используют для расчета количества атомов N0 и N, времени распада t в том случае, если известны два из трех неизвестных (N0, N и t); λ - табличная величина;

N = N0еt - число атомов, которое осталось через время t;(1.21) N0 = Neλt - исходное число атомов;(1.22) t
1
λ
 ln 
N0
N
 - время распада.
(1.23)

Как следует из определения радиоактивности, один распавшийся материнский атом соответствует одному вновь образовавшемуся дочернему атому. Если обозначить число дочерних атомов через D, то

D = N0 - N = N0 (l - et) = N(eλt - 1).(1.24)

Это уравнение также широко используется при расчете.

В том случае, если при распаде исходного ядра образуется цепочка из последовательно превращающихся радионуклидов, расчетные уравнения приобретают более сложный вид. Так, для двух радионуклидов, связанных друг с другом в цепочке (1 → 2 → ...), можно написать систему уравнений, где индекс 1 относится к материнскому радионуклиду, а индекс 2 - к дочернему:

dN1
dt
 = -λ1N1
dN2
dt
 = -λ2N2 + λ1N1 .
(1.25)

Уравнения означают, что количество первого (материнского) радионуклида постоянно убывает за счет распада, а количество второго (дочернего) - как убывает за счет собственного распада, так и пополняется за счет накопления из материнского.

Для начальных условий: N1 (0) = N1,0; N2 (0) = 0 - решение системы будет иметь вид

N1 = N1,0et ,(1.26) N2
N1,0 λ1
λ2 - λ1
 (et - e2t).
(1.27)

Отношение количества двух радионуклидов в настоящий момент равно

N2
N1
 = 
λ1
λ2 - λ1
 (1 - e1 - λ2)t).
(1.28)

Если распад материнского радионуклида происходит медленнее, чем дочернего (λ1 < λ2), то с течением времени возникает радиоактивное

28

равновесие, когда скорость распада дочернего радионуклида равна скорости его образования из материнского. В этом случае величиной e1 - λ2)t можно пренебречь и уравнение (1.28) приобретет вид

N2
N1
 = 
λ1
λ2 - λ1
.
(1.29)

Для наиболее долгоживущих материнских радионуклидов (λ1 ≪ λ2) это отношение остается постоянным за все время наблюдения, равновесие называют вековым, а уравнение (1.28) еще более упрощается:

N2
N1
 = 
λ1
λ2
, или N1λ1 = N2λ2
N1
T1
 = 
N2
T2
.
(1.30)

Это соотношение можно получить из уравнения (1.25), принимая, что условием векового равновесия за время эксперимента практически будет dN2/dt = 0 (уменьшением числа атомов материнского радионуклида можно пренебречь) и

N1λ1 = N2λ2 = N3λ3 = ... = Niλi .(1.31)

Когда радионуклид образуется при распаде другого радионуклида или при ядерной реакции, то расчет количества этого радионуклида для любого момента t может быть произведен путем решения дифференциального уравнения (1.25) (Баранов, 1956). Если скорость образования радионуклида обозначить через q(t), то уравнение примет вид

dN/dt = q(t) - λN.(1.32)

Общее решение этого уравнения может быть записано так:

N = et [N0
t
0
q(t) eλt dt ].
(1.33)

Для случая, когда скорость накопления радионуклида постоянна (при постоянно действующей ядерной реакции или образовании из материнского радионуклида, количество которого практически не уменьшается за время наблюдения), уравнение (1.32) примет вид

dN/dt = q - λN,

где q - величина постоянная.

Решение этого уравнения следующее:

N = et 
t
0
q(t) eλt dt ,

29

или

N = q/λ (1 - еt).(1.34)

Из уравнения вытекает, что по мере увеличения интервала t количество дочернего радионуклида асимптотически приближается к значению N = q/λ. Отсюда q = λN, что соответствует радиоактивному равновесию. Согласно (1.25) получаем N1λ1 = N2λ2 = q. Таким образом, уравнение (1.34) можно записать в виде N = N (1 - et) или N2 = N1q2 (1 - еt). Заменив q на N1λ1, получаем N2λ2 = N1λ1 (1 - еt). Так как по определению Nλ = dN/dt = A (активность), то можно записать, обозначая индексом "d" дочерний радионуклид, а индексом "р" - материнский (родительский):

Аd = Ар (1 - еt).(1.35)

Из (1.19) можно получить, что N = qT1/2/0,693. Отсюда вытекает невозможность накопления значительных весомых концентраций радиоактивных продуктов распада с малой продолжительностью жизни.

30



Купить BlueTooth гарнитуру

Яндекс цитирования Rambler's Top100
Tikva.Ru © 2006. All Rights Reserved