1.5. ОСНОВНОЙ ЗАКОН РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА

Радиоактивный распад - явление статистическое. Величиной, характеризующей распад конкретного радионуклида, является константа распада λ - вероятность распада ядер в единицу времени.

Для большого числа нестабильных ядер будет происходить Nλ распадов в единицу времени. Предсказать время распада единичного ядра невозможно. С течением времени с момента образования радиоактивные ядра не "стареют" и в этом смысле не

26

зависят от времени. Основной закон радиоактивного распада описывается уравнением

dN

dt

 = -λN(1.17)

и формулируется следующим образом: количество атомов радионуклида dN, которое распадается в интервале времени dt, пропорционально общему числу атомов N, где λ служит коэффициентом пропорциональности (минус означает уменьшение числа атомов во времени). Интегрирование этого уравнения дает фундаментальное уравнение радиоактивного распада:

N = N₀e^-λt ,(1.18)

где N - число атомов радионуклида в настоящее время; N₀ - число атомов радионуклида в начальный момент; λ - константа распада; t - время, в течение которого протекал распад.

Константа распада λ является специфической для каждого радионуклида. Она практически не зависит от формы химического соединения, в которое входит радионуклид, и физико-химических условий среды (Р, Т). Чем меньше константа распада, тем больше продолжительность жизни радионуклида.

Другая постоянная величина, характеризующая тот или иной радионуклид, - период полураспада. Периодом полураспада Т_1/2 называется время, в течение которого число имевшихся первоначально радиоактивных ядер уменьшается наполовину. Это может быть записано так: N/N₀ = 1/2. В этом случае, согласно определению, t = T; N/N₀ = е^-λt. Следовательно,

е^-λt = 

1

2

; -λT = ln

1

2

;

λT = ln 2 = 0,693; T = 

0,693

λ

.(1.19)

T_1/2 для каждого радионуклида является табличной величиной. Зная ее, легко можно рассчитать долю от первоначального числа атомов за время, кратное периоду полураспада: через n периодов полураспада остается (1/2)ⁿN₀ атомов. Так, через 7 Т_1/2 останется менее 1% исходных атомов, а через 10 T_1/2 их число будет близко 0,1% от N₀.

Величина, обратная константе распада, называется средней продолжительностью жизни радионуклида τ:

τ = 

1

λ

 = 

T

0,693

 = 1,443 T.(1.20)

27

Основное уравнение радиоактивного распада используют для расчета количества атомов N₀ и N, времени распада t в том случае, если известны два из трех неизвестных (N₀, N и t); λ - табличная величина;

N = N₀е^-λt - число атомов, которое осталось через время t;(1.21) N₀ = Ne^λt - исходное число атомов;(1.22) t = 

1

λ

 ln 

N0

N

 - время распада.(1.23)

Как следует из определения радиоактивности, один распавшийся материнский атом соответствует одному вновь образовавшемуся дочернему атому. Если обозначить число дочерних атомов через D, то

D = N₀ - N = N₀ (l - e^-λt) = N(e^λt - 1).(1.24)

Это уравнение также широко используется при расчете.

В том случае, если при распаде исходного ядра образуется цепочка из последовательно превращающихся радионуклидов, расчетные уравнения приобретают более сложный вид. Так, для двух радионуклидов, связанных друг с другом в цепочке (1 → 2 → ...), можно написать систему уравнений, где индекс 1 относится к материнскому радионуклиду, а индекс 2 - к дочернему:

dN1

dt

 = -λ₁N₁ ; 

dN2

dt

 = -λ₂N₂ + λ₁N₁ .(1.25)

Уравнения означают, что количество первого (материнского) радионуклида постоянно убывает за счет распада, а количество второго (дочернего) - как убывает за счет собственного распада, так и пополняется за счет накопления из материнского.

Для начальных условий: N₁ (0) = N_1,0; N₂ (0) = 0 - решение системы будет иметь вид

N₁ = N_1,0e^-λt ,(1.26) N₂ = 

N1,0 λ1

λ2 - λ1

 (e^-λt - e^-λ₂t).(1.27)

Отношение количества двух радионуклидов в настоящий момент равно

N2

N1

 = 

λ1

λ2 - λ1

 (1 - e^{(λ₁ - λ₂)t}).(1.28)

Если распад материнского радионуклида происходит медленнее, чем дочернего (λ₁ < λ₂), то с течением времени возникает радиоактивное

28

равновесие, когда скорость распада дочернего радионуклида равна скорости его образования из материнского. В этом случае величиной e^{(λ₁ - λ₂)t} можно пренебречь и уравнение (1.28) приобретет вид

N2

N1

 = 

λ1

λ2 - λ1

.(1.29)

Для наиболее долгоживущих материнских радионуклидов (λ₁ ≪ λ₂) это отношение остается постоянным за все время наблюдения, равновесие называют вековым, а уравнение (1.28) еще более упрощается:

N2

N1

 = 

λ1

λ2

, или N₁λ₁ = N₂λ₂ = 

N1

T1

 = 

N2

T2

.(1.30)

Это соотношение можно получить из уравнения (1.25), принимая, что условием векового равновесия за время эксперимента практически будет dN₂/dt = 0 (уменьшением числа атомов материнского радионуклида можно пренебречь) и

N₁λ₁ = N₂λ₂ = N₃λ₃ = ... = N_iλ_i .(1.31)

Когда радионуклид образуется при распаде другого радионуклида или при ядерной реакции, то расчет количества этого радионуклида для любого момента t может быть произведен путем решения дифференциального уравнения (1.25) (Баранов, 1956). Если скорость образования радионуклида обозначить через q(t), то уравнение примет вид

dN/dt = q(t) - λN.(1.32)

Общее решение этого уравнения может быть записано так:

N = e^-λt [N₀ + 

t

∫

0

q(t) e^λt dt ].(1.33)

Для случая, когда скорость накопления радионуклида постоянна (при постоянно действующей ядерной реакции или образовании из материнского радионуклида, количество которого практически не уменьшается за время наблюдения), уравнение (1.32) примет вид

dN/dt = q - λN,

где q - величина постоянная.

Решение этого уравнения следующее:

N = e^-λt 

t

∫

0

q(t) e^λt dt ,

29

или

N = q/λ (1 - е^-λt).(1.34)

Из уравнения вытекает, что по мере увеличения интервала t количество дочернего радионуклида асимптотически приближается к значению N_∞ = q/λ. Отсюда q = λN_∞, что соответствует радиоактивному равновесию. Согласно (1.25) получаем N₁λ₁ = N₂λ₂ = q. Таким образом, уравнение (1.34) можно записать в виде N = N_∞ (1 - e^-λt) или N₂ = N₁q/λ₂ (1 - е^-λt). Заменив q на N₁λ₁, получаем N₂λ₂ = N₁λ₁ (1 - е^-λt). Так как по определению Nλ = dN/dt = A (активность), то можно записать, обозначая индексом "d" дочерний радионуклид, а индексом "р" - материнский (родительский):

А_d = А_р (1 - е^-λ_t).(1.35)

Из (1.19) можно получить, что N_∞ = qT_1/2/0,693. Отсюда вытекает невозможность накопления значительных весомых концентраций радиоактивных продуктов распада с малой продолжительностью жизни.

30